Mae June ar Fwrdd Ymgynghorol Canolfan Polisi Cyhoeddus Cymru. Yn gyn Gomisiynydd a Chadeirydd Pwyllgor Cymru y Comisiwn Cydraddoldeb a Hawliau Dynol, mae June ar hyn o bryd yn Gomisiynydd Gwasanaeth Sifil ac yn aelod lleyg o gorff llywodraethu Prifysgol Glasgow. Mae hi wedi gweithio o fewn y llywodraeth fel ysgrifennydd preifat Gweinidogol a chynghorydd polisi, diplomydd y DU i’r sefydliadau Ewropeaidd, ac fel Cyfarwyddwr Cyffredinol Llywodraeth Leol a Chymunedau yn Llywodraeth Cymru.